Révision Séances 1 & 2

Synthèse & Exercices

Mathématiques financières, Emprunts immobiliers & Rentabilité locative

Master Gestion de Patrimoine — Suptertiaire Paris

Programme

Plan de révision

1. Synthèse — Séance 1 : Mathématiques financières

Intérêts simples & composés, taux, capitalisation, actualisation

2. Synthèse — Séance 2 : Emprunts & Rentabilité

Mensualité, amortissement, CRD, rentabilité brute/nette, cash-flow, effet de levier

3. QCM — 15 questions

Testez vos connaissances sur les deux séances

4. Exercices classiques — 8 exercices corrigés

Calculs complets avec solutions détaillées étape par étape

Synthèse — Séance 1

Mathématiques financières : les fondamentaux

Intérêts simples

Valeur acquise

V = C × (1 + i × n)

Intérêts calculés uniquement sur le capital initial
Croissance linéaire
Utilisé pour les placements courts (< 1 an)

Intérêts composés

Valeur acquise

V = C × (1 + i)ⁿ

Intérêts capitalisés chaque période
Croissance exponentielle
Standard pour les placements longs (> 1 an)

Taux proportionnel

t_mensuel = t_annuel / 12

Division simple. Utilisé pour les intérêts simples et par convention bancaire pour les prêts.

Taux équivalent

t_mensuel = (1 + t_annuel)^1/12 - 1

Conserve le rendement effectif. Utilisé pour comparer des placements de périodicités différentes.

Synthèse — Séance 1

Capitalisation & Actualisation

Capitalisation (projection future)

Capital futur d'un versement unique

C_n = C₀ × (1 + i)ⁿ

On projette une somme d'aujourd'hui vers le futur.

Actualisation (valeur présente)

Valeur actuelle d'un flux futur

VA = C_n / (1 + i)ⁿ

On ramène un flux futur à sa valeur d'aujourd'hui.

Épargne programmée

Capital final avec versements réguliers

C_n = V × [(1+i)ⁿ - 1] / i

V = versement périodique, i = taux par période, n = nombre de périodes.

Règle des 72

Durée pour doubler un capital

n ≈ 72 / taux (%)

Ex : à 6%, un capital double en 72/6 = 12 ans environ.

Actualisation de flux multiples

VA = Σ CF_t / (1 + i)^t

On additionne les valeurs actuelles de chaque flux futur. C'est le fondement du calcul de la VAN et de la valorisation d'un bien par ses loyers.

Synthèse — Séance 2

Emprunts immobiliers

Mensualité d'un prêt amortissable

M = C × t / [1 - (1 + t)^-n]

C = capital emprunté
t = taux mensuel (taux annuel / 12)
n = nombre de mensualités

Tableau d'amortissement

Pour chaque mensualité :

Intérêts = CRD × taux mensuel
Capital remboursé = M - Intérêts
Nouveau CRD = CRD - Capital remboursé

La part d'intérêts diminue, la part de capital augmente.

Capital Restant Dû (CRD)

CRD_k = C × [(1+t)ⁿ - (1+t)^k] / [(1+t)ⁿ - 1]

Permet de connaître le solde restant après k mensualités sans refaire tout le tableau.

Coût total du crédit

Coût = (M × n) - C

TAEG = Taux Annuel Effectif Global
Inclut intérêts + frais + assurance
Obligatoire pour comparer les offres

Synthèse — Séance 2

Rentabilité locative

Rentabilité brute

R_b = (Loyer annuel / Prix achat) × 100

Premier filtre rapide. Ne tient pas compte des charges.

Rentabilité nette

R_n = [(Loyer - Charges) / Prix total] × 100

Déduit les charges de copropriété, taxe foncière, assurance PNO, gestion.

Rentabilité nette-nette

R_nn = [(Loyer - Charges - Impôts) / Prix total] × 100

Inclut la fiscalité (IR + prélèvements sociaux). La plus réaliste.

Cash-flow

CF = Loyer - Charges - Mensualité - Impôts

CF positif = l'investissement s'autofinance
CF négatif = effort d'épargne mensuel nécessaire

Effet de levier

Levier = Rentabilité nette / Coût du crédit

Si Renta > Taux crédit → levier positif
Emprunter amplifie la rentabilité des fonds propres
Attention : le levier amplifie aussi les pertes

QCM — Séance 1

Testez vos connaissances : maths financières

1Vous placez 10 000 € à 3% en intérêts simples pendant 6 mois. Quel montant recevez-vous ?

A10 300 €

B10 150 €

C10 600 €

D10 015 €

I = 10 000 × 3% × 6/12 = 150 €. Montant total = 10 150 €.

2Quelle est la différence fondamentale entre intérêts simples et composés ?

ALes intérêts simples sont toujours plus élevés

BLes intérêts composés utilisent un taux plus fort

CLes intérêts composés se calculent sur le capital + les intérêts cumulés

DIl n'y a aucune différence sur le long terme

En intérêts composés, les intérêts de chaque période sont ajoutés au capital et produisent eux-mêmes des intérêts les périodes suivantes (effet boule de neige).

3Un capital de 5 000 € placé à 4% en intérêts composés pendant 3 ans vaut :

A5 624,32 €

B5 600,00 €

C5 612,16 €

D5 800,00 €

V = 5 000 × (1,04)³ = 5 000 × 1,124864 = 5 624,32 €. En intérêts simples, ce serait 5 000 + 600 = 5 600 €.

4Le taux équivalent mensuel d'un taux annuel de 6% est :

A0,50%

B0,4868%

C0,5123%

D0,4500%

t_eq = (1 + 6%)^(1/12) - 1 = (1,06)^(1/12) - 1 ≈ 0,4868%. Le taux proportionnel serait 6%/12 = 0,50%.

5Selon la règle des 72, un placement à 8% double en :

A8 ans

B12 ans

C7,2 ans

D9 ans

72 / 8 = 9 ans. C'est une approximation rapide : en calcul exact, (1,08)^9 = 1,999 ≈ 2.

QCM — Séance 1 & 2

Testez vos connaissances : actualisation & emprunts

6Actualiser un flux futur, c'est :

AProjeter un capital vers le futur

BCalculer les intérêts composés

CRamener un montant futur à sa valeur d'aujourd'hui

DDiviser par le nombre d'années

L'actualisation est l'opération inverse de la capitalisation : on divise par (1+i)^n pour connaître la valeur présente d'un flux futur.

7La valeur actuelle de 15 000 € à recevoir dans 5 ans, au taux de 4%, est :

A12 329 €

B13 500 €

C11 250 €

D12 000 €

VA = 15 000 / (1,04)^5 = 15 000 / 1,21665 = 12 329 €.

8Pour un prêt amortissable, la mensualité est :

ADécroissante au fil du temps

BConstante (hors assurance)

CCroissante au fil du temps

DVariable selon l'inflation

Dans un prêt amortissable classique, la mensualité est constante. Mais sa composition évolue : la part d'intérêts diminue et la part de capital remboursé augmente.

9Vous empruntez 200 000 € sur 20 ans à 3,5% (taux mensuel = 0,2917%). La mensualité est :

A1 000 €

B1 250 €

C1 100 €

D1 160 €

M = 200 000 × 0,002917 / [1 - (1,002917)^(-240)] = 200 000 × 0,002917 / 0,5029 ≈ 583,4 / 0,5029 ≈ 1 160 €.

10Le coût total d'un crédit de 200 000 € avec des mensualités de 1 160 € sur 20 ans est :

A58 400 €

B72 000 €

C78 400 €

D96 000 €

Coût total = (1 160 × 240) - 200 000 = 278 400 - 200 000 = 78 400 €.

QCM — Séance 2

Testez vos connaissances : rentabilité locative

11Un studio acheté 120 000 € loué 600 €/mois a une rentabilité brute de :

A5,0%

B6,0%

C7,2%

D4,8%

R_b = (600 × 12) / 120 000 × 100 = 7 200 / 120 000 × 100 = 6,0%.

12La rentabilité nette se distingue de la brute car elle intègre :

ALes charges, la taxe foncière et les frais de gestion

BUniquement la taxe foncière

CLa fiscalité sur les revenus fonciers

DLe coût du crédit bancaire

La rentabilité nette déduit toutes les charges (copropriété, taxe foncière, assurance PNO, frais de gestion, vacance locative). La fiscalité est intégrée dans la rentabilité nette-nette.

13Un cash-flow mensuel positif signifie que :

ALe bien prend de la valeur

BLe crédit est entièrement remboursé

CLe taux de rendement est supérieur à 5%

DLes loyers couvrent toutes les dépenses (charges + crédit + impôts)

Un cash-flow positif signifie que l'investissement s'autofinance : le loyer perçu est supérieur à la somme des charges, de la mensualité de crédit et des impôts.

14L'effet de levier est positif lorsque :

ALe loyer augmente chaque année

BL'apport personnel est supérieur à 30%

CLa rentabilité de l'investissement dépasse le coût du crédit

DLe bien est acheté sans emprunt

L'effet de levier est positif quand la rentabilité nette de l'investissement est supérieure au taux d'intérêt du crédit. L'emprunt amplifie alors le rendement des fonds propres.

15Le TAEG (Taux Annuel Effectif Global) inclut :

AUniquement les intérêts du prêt

BIntérêts + frais de dossier + assurance + garantie

CIntérêts + frais de notaire

DIntérêts + assurance uniquement

Le TAEG est le taux "tout compris" obligatoire : il intègre les intérêts, les frais de dossier, l'assurance emprunteur et les frais de garantie. C'est le seul taux qui permet de comparer objectivement les offres bancaires.

sur 15 questions

Exercices — Séance 1

Intérêts simples & composés

1

Comparaison simples vs composés

Difficulté : facile

M. Dupont place 25 000 € pendant 5 ans à un taux annuel de 4%.
a) Calculez la valeur acquise en intérêts simples.
b) Calculez la valeur acquise en intérêts composés.
c) Quelle est la différence entre les deux résultats ? Pourquoi ?

a) Intérêts simples :

V = C × (1 + i × n) = 25 000 × (1 + 0,04 × 5) = 25 000 × 1,20 = 30 000 €

b) Intérêts composés :

V = C × (1 + i)ⁿ = 25 000 × (1,04)⁵ = 25 000 × 1,21665 = 30 416,32 €

c) Différence :
30 416,32 - 30 000 = 416,32 € de plus en intérêts composés.
Cette différence correspond aux intérêts sur les intérêts (capitalisation). Plus la durée augmente, plus l'écart se creuse.

Intérêts simples : 30 000 € | Intérêts composés : 30 416,32 € | Écart : +416,32 €

2

Taux équivalent et épargne

Difficulté : moyen

Une banque propose un livret à 3,6% annuel avec capitalisation mensuelle des intérêts.
a) Calculez le taux proportionnel mensuel.
b) Calculez le taux équivalent mensuel.
c) Si vous placez 10 000 € pendant 1 an, quel est le capital final avec chaque méthode ?

a) Taux proportionnel :

t_prop = 3,6% / 12 = 0,30% par mois

b) Taux équivalent :

t_eq = (1 + 3,6%)^(1/12) - 1 = (1,036)^(0,0833) - 1 = 0,2954% par mois

c) Capital final :
Avec taux proportionnel :

10 000 × (1 + 0,003)^12 = 10 000 × 1,03660 = 10 366,03 €

Avec taux équivalent :

10 000 × (1 + 0,002954)^12 = 10 000 × 1,03600 = 10 360,00 €

La méthode proportionnelle donne un résultat légèrement supérieur (6,03 € d'écart) car elle surévalue le taux mensuel.

Proportionnel : 0,30%/mois → 10 366 € | Équivalent : 0,2954%/mois → 10 360 €

Exercices — Séance 1

Capitalisation & Actualisation

3

Épargne programmée pour un apport

Difficulté : moyen

Mme Martin souhaite constituer un apport de 50 000 € dans 8 ans. Son placement rapporte 3% par an.
a) Quel versement mensuel doit-elle effectuer ?
b) Combien aura-t-elle versé au total ? Quelle part provient des intérêts ?

Données : C_n = 50 000 €, n = 8 × 12 = 96 mois, i_mensuel = 3%/12 = 0,25%

a) Versement mensuel :
On inverse la formule C_n = V × [(1+i)^n - 1] / i :

V = C_n × i / [(1+i)^n - 1] = 50 000 × 0,0025 / [(1,0025)^96 - 1]

V = 125 / [1,27048 - 1] = 125 / 0,27048 = 462,11 €/mois

b) Total versé et intérêts :
Total versé :

462,11 × 96 = 44 362,56 €

Intérêts gagnés :

50 000 - 44 362,56 = 5 637,44 € (soit 11,3% du capital final)

Versement : 462,11 €/mois | Total versé : 44 363 € | Intérêts : 5 637 €

4

Actualisation — Valoriser un local commercial

Difficulté : avancé

Un local commercial génère les loyers nets suivants :
Année 1 : 12 000 € | Année 2 : 12 300 € | Année 3 : 12 600 € | Année 4 : 12 900 € | Année 5 : 13 200 €
À la fin de l'année 5, le bien sera revendu 180 000 €. Le taux d'actualisation est de 5%.
Calculez la valeur actuelle de cet investissement.

Méthode : VA = Σ CF_t / (1 + 5%)^t

Calcul année par année :

An 1 : 12 000 / 1,05 = 11 428,57 €

An 2 : 12 300 / (1,05)² = 12 300 / 1,1025 = 11 156,46 €

An 3 : 12 600 / (1,05)³ = 12 600 / 1,15763 = 10 884,83 €

An 4 : 12 900 / (1,05)⁴ = 12 900 / 1,21551 = 10 613,03 €

An 5 : (13 200 + 180 000) / (1,05)⁵ = 193 200 / 1,27628 = 151 383,87 €

Total :

VA = 11 429 + 11 156 + 10 885 + 10 613 + 151 384 = 195 466,76 €

Valeur actuelle de l'investissement : 195 467 € (dont 151 384 € pour la revente actualisée)

Exercices — Séance 2

Calcul de mensualité et amortissement

5

Mensualité et coût total d'un crédit

Difficulté : moyen

M. Leroy emprunte 250 000 € sur 25 ans au taux nominal annuel de 3,8%.
a) Calculez le taux mensuel.
b) Calculez la mensualité hors assurance.
c) Calculez le coût total du crédit.
d) Quel est le montant des intérêts de la 1ère mensualité ?

a) Taux mensuel :

t = 3,8% / 12 = 0,31667% = 0,0031667

b) Mensualité :
n = 25 × 12 = 300 mois

M = 250 000 × 0,0031667 / [1 - (1,0031667)^(-300)]

M = 791,67 / [1 - 0,38671] = 791,67 / 0,61329 = 1 290,78 €

c) Coût total :

Coût = (1 290,78 × 300) - 250 000 = 387 234 - 250 000 = 137 234 €

d) Intérêts 1ère mensualité :

I₁ = 250 000 × 0,0031667 = 791,67 €

Capital remboursé : 1 290,78 - 791,67 = 499,11 €
Les intérêts représentent 61% de la 1ère mensualité.

Mensualité : 1 290,78 € | Coût total : 137 234 € | 1ère mensualité : 791,67 € d'intérêts + 499,11 € de capital

6

Capital restant dû et remboursement anticipé

Difficulté : avancé

Reprenons le prêt de M. Leroy (250 000 €, 25 ans, 3,8%, mensualité 1 290,78 €).
Après 10 ans, M. Leroy reçoit un héritage et souhaite rembourser par anticipation.
a) Calculez le capital restant dû après 10 ans (120 mensualités).
b) Combien a-t-il déjà remboursé en tout ?
c) Combien a-t-il payé d'intérêts sur ces 10 ans ?

a) CRD après 120 mois :

CRD₁₂₀ = 250 000 × [(1,0031667)^300 - (1,0031667)^120] / [(1,0031667)^300 - 1]

CRD₁₂₀ = 250 000 × [2,58518 - 1,46189] / [2,58518 - 1]

CRD₁₂₀ = 250 000 × 1,12329 / 1,58518 = 250 000 × 0,70862 = 177 155 €

b) Total versé sur 10 ans :

1 290,78 × 120 = 154 894 €

c) Intérêts payés :
Capital remboursé = 250 000 - 177 155 = 72 845 €

Intérêts = 154 894 - 72 845 = 82 049 €

En 10 ans, M. Leroy a payé plus d'intérêts (82 049 €) que de capital (72 845 €). C'est typique du début d'un prêt long.

CRD à 10 ans : 177 155 € | Intérêts payés : 82 049 € | Capital remboursé : 72 845 €

Exercices — Séance 2

Rentabilité locative & Cash-flow

7

Analyse complète de rentabilité

Difficulté : avancé

Mme Garnier achète un T2 à Lyon pour 180 000 € (frais de notaire : 14 400 €).
Loyer : 750 €/mois. Charges annuelles : taxe foncière 900 €, copropriété 1 200 €, assurance PNO 180 €, gestion locative 7% des loyers, vacance estimée 1 mois/an.
a) Calculez la rentabilité brute.
b) Calculez la rentabilité nette.
c) Calculez le cash-flow mensuel si elle emprunte avec une mensualité de 820 €.

a) Rentabilité brute :

R_b = (750 × 12) / 180 000 × 100 = 9 000 / 180 000 × 100 = 5,00%

b) Rentabilité nette :
Loyers effectifs :

750 × 11 mois (vacance) = 8 250 €

Charges totales :

Taxe foncière : 900 € + Copropriété : 1 200 € + Assurance PNO : 180 € + Gestion : 8 250 × 7% = 577,50 €

Total charges = 900 + 1 200 + 180 + 577,50 = 2 857,50 €

Prix total : 180 000 + 14 400 = 194 400 €

R_n = (8 250 - 2 857,50) / 194 400 × 100 = 5 392,50 / 194 400 × 100 = 2,77%

c) Cash-flow mensuel :
Revenus nets mensuels :

5 392,50 / 12 = 449,38 €

CF = 449,38 - 820 = -370,63 €/mois

Mme Garnier devra sortir 371 € de sa poche chaque mois en moyenne.

Renta brute : 5,00% | Renta nette : 2,77% | Cash-flow : -371 €/mois (effort d'épargne)

8

Effet de levier du crédit

Difficulté : avancé

M. Bernard investit dans un bien à 200 000 € qui génère 10 000 € de revenus nets par an (rentabilité nette de 5%).
Scénario A : il achète comptant (apport 200 000 €).
Scénario B : il emprunte 160 000 € à 3,5% sur 20 ans (apport 40 000 €).
Calculez le rendement des fonds propres dans chaque scénario.

Scénario A — Achat comptant :

Rendement fonds propres = 10 000 / 200 000 = 5,0%

Scénario B — Avec emprunt :
Mensualité crédit :

M = 160 000 × 0,002917 / [1 - (1,002917)^(-240)] ≈ 928 €

Coût annuel du crédit :

928 × 12 = 11 136 €

Revenus nets après crédit :

10 000 - 11 136 = -1 136 € (effort d'épargne annuel)

Mais il faut raisonner sur le patrimoine constitué. Après 20 ans :

Capital remboursé = 160 000 € (le bien est payé)

Effort total = 1 136 × 20 = 22 720 € sur 20 ans

Fonds propres investis = 40 000 + 22 720 = 62 720 €

Patrimoine acquis = 200 000 € → Rendement = 200 000 / 62 720 = 3,19 × la mise

Avec seulement 62 720 € sortis, il détient un bien de 200 000 €. C'est le levier.

Comptant : rendement 5% (linéaire) | Avec crédit : patrimoine × 3,19 grâce au levier (le locataire rembourse l'essentiel)

Conclusion

Les formules essentielles à retenir

Séance 1 — Maths financières

Intérêts simples

V = C × (1 + i × n)

Intérêts composés

V = C × (1 + i)ⁿ

Taux équivalent

t_m = (1 + t_a)^1/12 - 1

Actualisation

VA = C_n / (1 + i)ⁿ

Épargne programmée

C_n = V × [(1+i)ⁿ - 1] / i

Séance 2 — Emprunts & Rentabilité

Mensualité

M = C × t / [1 - (1+t)^-n]

Coût total

Coût = (M × n) - C

Rentabilité brute

R_b = Loyer annuel / Prix × 100

Rentabilité nette

R_n = (Loyer - Charges) / Prix total × 100

Cash-flow

CF = Loyer - Charges - Crédit - Impôts

Prochaine séance : Fiscalité immobilière, TRI & VAN