Module Calculs financiers
Type Synthèse & Exercices
Révision Séances 1 & 2

# Synthèse & Exercices

Mathématiques financières, Emprunts immobiliers & Rentabilité locative

Master Gestion de Patrimoine — Suptertiaire Paris

Programme

## Plan de révision

#### 1. Synthèse — Séance 1 : Mathématiques financières

Intérêts simples & composés, taux, capitalisation, actualisation

#### 2. Synthèse — Séance 2 : Emprunts & Rentabilité

Mensualité, amortissement, CRD, rentabilité brute/nette, cash-flow, effet de levier

#### 3. QCM — 15 questions

Testez vos connaissances sur les deux séances

#### 4. Exercices classiques — 8 exercices corrigés

Calculs complets avec solutions détaillées étape par étape

Synthèse — Séance 1

## Mathématiques financières : les fondamentaux

#### Intérêts simples

Valeur acquise
V = C × (1 + i × n)

- Intérêts calculés uniquement sur le capital initial
- Croissance linéaire
- Utilisé pour les placements courts (< 1 an)

#### Intérêts composés

Valeur acquise
V = C × (1 + i)n

- Intérêts capitalisés chaque période
- Croissance exponentielle
- Standard pour les placements longs (> 1 an)

#### Taux proportionnel

tmensuel = tannuel / 12

Division simple. Utilisé pour les intérêts simples et par convention bancaire pour les prêts.

#### Taux équivalent

tmensuel = (1 + tannuel)1/12 - 1

Conserve le rendement effectif. Utilisé pour comparer des placements de périodicités différentes.

Synthèse — Séance 1

## Capitalisation & Actualisation

#### Capitalisation (projection future)

Capital futur d'un versement unique
Cn = C0 × (1 + i)n

On projette une somme d'aujourd'hui vers le futur.

#### Actualisation (valeur présente)

Valeur actuelle d'un flux futur
VA = Cn / (1 + i)n

On ramène un flux futur à sa valeur d'aujourd'hui.

#### Épargne programmée

Capital final avec versements réguliers
Cn = V × [(1+i)n - 1] / i

V = versement périodique, i = taux par période, n = nombre de périodes.

#### Règle des 72

Durée pour doubler un capital
n ≈ 72 / taux (%)

Ex : à 6%, un capital double en 72/6 = 12 ans environ.

#### Actualisation de flux multiples

VA = Σ CFt / (1 + i)t

On additionne les valeurs actuelles de chaque flux futur. C'est le fondement du calcul de la VAN et de la valorisation d'un bien par ses loyers.

Synthèse — Séance 2

## Emprunts immobiliers

#### Mensualité d'un prêt amortissable

M = C × t / [1 - (1 + t)-n]

- C = capital emprunté
- t = taux mensuel (taux annuel / 12)
- n = nombre de mensualités

#### Tableau d'amortissement

Pour chaque mensualité :

- Intérêts = CRD × taux mensuel
- Capital remboursé = M - Intérêts
- Nouveau CRD = CRD - Capital remboursé

La part d'intérêts diminue, la part de capital augmente.

#### Capital Restant Dû (CRD)

CRDk = C × [(1+t)n - (1+t)k] / [(1+t)n - 1]

Permet de connaître le solde restant après k mensualités sans refaire tout le tableau.

#### Coût total du crédit

Coût = (M × n) - C

- TAEG = Taux Annuel Effectif Global
- Inclut intérêts + frais + assurance
- Obligatoire pour comparer les offres

Synthèse — Séance 2

## Rentabilité locative

#### Rentabilité brute

Rb = (Loyer annuel / Prix achat) × 100

Premier filtre rapide. Ne tient pas compte des charges.

#### Rentabilité nette

Rn = [(Loyer - Charges) / Prix total] × 100

Déduit les charges de copropriété, taxe foncière, assurance PNO, gestion.

#### Rentabilité nette-nette

Rnn = [(Loyer - Charges - Impôts) / Prix total] × 100

Inclut la fiscalité (IR + prélèvements sociaux). La plus réaliste.

#### Cash-flow

CF = Loyer - Charges - Mensualité - Impôts

- CF positif = l'investissement s'autofinance
- CF négatif = effort d'épargne mensuel nécessaire

#### Effet de levier

Levier = Rentabilité nette / Coût du crédit

- Si Renta > Taux crédit → levier positif
- Emprunter amplifie la rentabilité des fonds propres
- Attention : le levier amplifie aussi les pertes

QCM — Séance 1

## Testez vos connaissances : maths financières

#### 1Vous placez 10 000 € à 3% en intérêts simples pendant 6 mois. Quel montant recevez-vous ?

A10 300 €
B10 150 €
C10 600 €
D10 015 €
I = 10 000 × 3% × 6/12 = 150 €. Montant total = 10 150 €.

#### 2Quelle est la différence fondamentale entre intérêts simples et composés ?

ALes intérêts simples sont toujours plus élevés
BLes intérêts composés utilisent un taux plus fort
CLes intérêts composés se calculent sur le capital + les intérêts cumulés
DIl n'y a aucune différence sur le long terme
En intérêts composés, les intérêts de chaque période sont ajoutés au capital et produisent eux-mêmes des intérêts les périodes suivantes (effet boule de neige).

#### 3Un capital de 5 000 € placé à 4% en intérêts composés pendant 3 ans vaut :

A5 624,32 €
B5 600,00 €
C5 612,16 €
D5 800,00 €
V = 5 000 × (1,04)³ = 5 000 × 1,124864 = 5 624,32 €. En intérêts simples, ce serait 5 000 + 600 = 5 600 €.

#### 4Le taux équivalent mensuel d'un taux annuel de 6% est :

A0,50%
B0,4868%
C0,5123%
D0,4500%
teq = (1 + 6%)^(1/12) - 1 = (1,06)^(1/12) - 1 ≈ 0,4868%. Le taux proportionnel serait 6%/12 = 0,50%.

#### 5Selon la règle des 72, un placement à 8% double en :

A8 ans
B12 ans
C7,2 ans
D9 ans
72 / 8 = 9 ans. C'est une approximation rapide : en calcul exact, (1,08)^9 = 1,999 ≈ 2.
QCM — Séance 1 & 2

## Testez vos connaissances : actualisation & emprunts

#### 6Actualiser un flux futur, c'est :

AProjeter un capital vers le futur
BCalculer les intérêts composés
CRamener un montant futur à sa valeur d'aujourd'hui
DDiviser par le nombre d'années
L'actualisation est l'opération inverse de la capitalisation : on divise par (1+i)^n pour connaître la valeur présente d'un flux futur.

#### 7La valeur actuelle de 15 000 € à recevoir dans 5 ans, au taux de 4%, est :

A12 329 €
B13 500 €
C11 250 €
D12 000 €
VA = 15 000 / (1,04)^5 = 15 000 / 1,21665 = 12 329 €.

#### 8Pour un prêt amortissable, la mensualité est :

ADécroissante au fil du temps
BConstante (hors assurance)
CCroissante au fil du temps
DVariable selon l'inflation
Dans un prêt amortissable classique, la mensualité est constante. Mais sa composition évolue : la part d'intérêts diminue et la part de capital remboursé augmente.

#### 9Vous empruntez 200 000 € sur 20 ans à 3,5% (taux mensuel = 0,2917%). La mensualité est :

A1 000 €
B1 250 €
C1 100 €
D1 160 €
M = 200 000 × 0,002917 / [1 - (1,002917)^(-240)] = 200 000 × 0,002917 / 0,5029 ≈ 583,4 / 0,5029 ≈ 1 160 €.

#### 10Le coût total d'un crédit de 200 000 € avec des mensualités de 1 160 € sur 20 ans est :

A58 400 €
B72 000 €
C78 400 €
D96 000 €
Coût total = (1 160 × 240) - 200 000 = 278 400 - 200 000 = 78 400 €.
QCM — Séance 2

## Testez vos connaissances : rentabilité locative

#### 11Un studio acheté 120 000 € loué 600 €/mois a une rentabilité brute de :

A5,0%
B6,0%
C7,2%
D4,8%
Rb = (600 × 12) / 120 000 × 100 = 7 200 / 120 000 × 100 = 6,0%.

#### 12La rentabilité nette se distingue de la brute car elle intègre :

ALes charges, la taxe foncière et les frais de gestion
BUniquement la taxe foncière
CLa fiscalité sur les revenus fonciers
DLe coût du crédit bancaire
La rentabilité nette déduit toutes les charges (copropriété, taxe foncière, assurance PNO, frais de gestion, vacance locative). La fiscalité est intégrée dans la rentabilité nette-nette.

#### 13Un cash-flow mensuel positif signifie que :

ALe bien prend de la valeur
BLe crédit est entièrement remboursé
CLe taux de rendement est supérieur à 5%
DLes loyers couvrent toutes les dépenses (charges + crédit + impôts)
Un cash-flow positif signifie que l'investissement s'autofinance : le loyer perçu est supérieur à la somme des charges, de la mensualité de crédit et des impôts.

#### 14L'effet de levier est positif lorsque :

ALe loyer augmente chaque année
BL'apport personnel est supérieur à 30%
CLa rentabilité de l'investissement dépasse le coût du crédit
DLe bien est acheté sans emprunt
L'effet de levier est positif quand la rentabilité nette de l'investissement est supérieure au taux d'intérêt du crédit. L'emprunt amplifie alors le rendement des fonds propres.

#### 15Le TAEG (Taux Annuel Effectif Global) inclut :

AUniquement les intérêts du prêt
BIntérêts + frais de dossier + assurance + garantie
CIntérêts + frais de notaire
DIntérêts + assurance uniquement
Le TAEG est le taux "tout compris" obligatoire : il intègre les intérêts, les frais de dossier, l'assurance emprunteur et les frais de garantie. C'est le seul taux qui permet de comparer objectivement les offres bancaires.
sur 15 questions
Exercices — Séance 1

## Intérêts simples & composés

1
Comparaison simples vs composés
Difficulté : facile
M. Dupont place 25 000 € pendant 5 ans à un taux annuel de 4%.
a) Calculez la valeur acquise en intérêts simples.
b) Calculez la valeur acquise en intérêts composés.
c) Quelle est la différence entre les deux résultats ? Pourquoi ?
a) Intérêts simples :
V = C × (1 + i × n) = 25 000 × (1 + 0,04 × 5) = 25 000 × 1,20 = 30 000 €
b) Intérêts composés :
V = C × (1 + i)n = 25 000 × (1,04)5 = 25 000 × 1,21665 = 30 416,32 €
c) Différence :
30 416,32 - 30 000 = 416,32 € de plus en intérêts composés.
Cette différence correspond aux intérêts sur les intérêts (capitalisation). Plus la durée augmente, plus l'écart se creuse.
Intérêts simples : 30 000 € | Intérêts composés : 30 416,32 € | Écart : +416,32 €
2
Taux équivalent et épargne
Difficulté : moyen
Une banque propose un livret à 3,6% annuel avec capitalisation mensuelle des intérêts.
a) Calculez le taux proportionnel mensuel.
b) Calculez le taux équivalent mensuel.
c) Si vous placez 10 000 € pendant 1 an, quel est le capital final avec chaque méthode ?
a) Taux proportionnel :
tprop = 3,6% / 12 = 0,30% par mois
b) Taux équivalent :
teq = (1 + 3,6%)^(1/12) - 1 = (1,036)^(0,0833) - 1 = 0,2954% par mois
c) Capital final :
Avec taux proportionnel :
10 000 × (1 + 0,003)^12 = 10 000 × 1,03660 = 10 366,03 €
Avec taux équivalent :
10 000 × (1 + 0,002954)^12 = 10 000 × 1,03600 = 10 360,00 €
La méthode proportionnelle donne un résultat légèrement supérieur (6,03 € d'écart) car elle surévalue le taux mensuel.
Proportionnel : 0,30%/mois → 10 366 € | Équivalent : 0,2954%/mois → 10 360 €
Exercices — Séance 1

## Capitalisation & Actualisation

3
Épargne programmée pour un apport
Difficulté : moyen
Mme Martin souhaite constituer un apport de 50 000 € dans 8 ans. Son placement rapporte 3% par an.
a) Quel versement mensuel doit-elle effectuer ?
b) Combien aura-t-elle versé au total ? Quelle part provient des intérêts ?
Données : Cn = 50 000 €, n = 8 × 12 = 96 mois, imensuel = 3%/12 = 0,25%
a) Versement mensuel :
On inverse la formule Cn = V × [(1+i)^n - 1] / i :
V = Cn × i / [(1+i)^n - 1] = 50 000 × 0,0025 / [(1,0025)^96 - 1]
V = 125 / [1,27048 - 1] = 125 / 0,27048 = 462,11 €/mois
b) Total versé et intérêts :
Total versé :
462,11 × 96 = 44 362,56 €
Intérêts gagnés :
50 000 - 44 362,56 = 5 637,44 € (soit 11,3% du capital final)
Versement : 462,11 €/mois | Total versé : 44 363 € | Intérêts : 5 637 €
4
Actualisation — Valoriser un local commercial
Difficulté : avancé
Un local commercial génère les loyers nets suivants :
Année 1 : 12 000 € | Année 2 : 12 300 € | Année 3 : 12 600 € | Année 4 : 12 900 € | Année 5 : 13 200 €
À la fin de l'année 5, le bien sera revendu 180 000 €. Le taux d'actualisation est de 5%.
Calculez la valeur actuelle de cet investissement.
Méthode : VA = Σ CFt / (1 + 5%)t
Calcul année par année :
An 1 : 12 000 / 1,05 = 11 428,57 €
An 2 : 12 300 / (1,05)² = 12 300 / 1,1025 = 11 156,46 €
An 3 : 12 600 / (1,05)³ = 12 600 / 1,15763 = 10 884,83 €
An 4 : 12 900 / (1,05)⁴ = 12 900 / 1,21551 = 10 613,03 €
An 5 : (13 200 + 180 000) / (1,05)⁵ = 193 200 / 1,27628 = 151 383,87 €
Total :
VA = 11 429 + 11 156 + 10 885 + 10 613 + 151 384 = 195 466,76 €
Valeur actuelle de l'investissement : 195 467 € (dont 151 384 € pour la revente actualisée)
Exercices — Séance 2

## Calcul de mensualité et amortissement

5
Mensualité et coût total d'un crédit
Difficulté : moyen
M. Leroy emprunte 250 000 € sur 25 ans au taux nominal annuel de 3,8%.
a) Calculez le taux mensuel.
b) Calculez la mensualité hors assurance.
c) Calculez le coût total du crédit.
d) Quel est le montant des intérêts de la 1ère mensualité ?
a) Taux mensuel :
t = 3,8% / 12 = 0,31667% = 0,0031667
b) Mensualité :
n = 25 × 12 = 300 mois
M = 250 000 × 0,0031667 / [1 - (1,0031667)^(-300)]
M = 791,67 / [1 - 0,38671] = 791,67 / 0,61329 = 1 290,78 €
c) Coût total :
Coût = (1 290,78 × 300) - 250 000 = 387 234 - 250 000 = 137 234 €
d) Intérêts 1ère mensualité :
I₁ = 250 000 × 0,0031667 = 791,67 €
Capital remboursé : 1 290,78 - 791,67 = 499,11 €
Les intérêts représentent 61% de la 1ère mensualité.
Mensualité : 1 290,78 € | Coût total : 137 234 € | 1ère mensualité : 791,67 € d'intérêts + 499,11 € de capital
6
Capital restant dû et remboursement anticipé
Difficulté : avancé
Reprenons le prêt de M. Leroy (250 000 €, 25 ans, 3,8%, mensualité 1 290,78 €).
Après 10 ans, M. Leroy reçoit un héritage et souhaite rembourser par anticipation.
a) Calculez le capital restant dû après 10 ans (120 mensualités).
b) Combien a-t-il déjà remboursé en tout ?
c) Combien a-t-il payé d'intérêts sur ces 10 ans ?
a) CRD après 120 mois :
CRD₁₂₀ = 250 000 × [(1,0031667)^300 - (1,0031667)^120] / [(1,0031667)^300 - 1]
CRD₁₂₀ = 250 000 × [2,58518 - 1,46189] / [2,58518 - 1]
CRD₁₂₀ = 250 000 × 1,12329 / 1,58518 = 250 000 × 0,70862 = 177 155 €
b) Total versé sur 10 ans :
1 290,78 × 120 = 154 894 €
c) Intérêts payés :
Capital remboursé = 250 000 - 177 155 = 72 845 €
Intérêts = 154 894 - 72 845 = 82 049 €
En 10 ans, M. Leroy a payé plus d'intérêts (82 049 €) que de capital (72 845 €). C'est typique du début d'un prêt long.
CRD à 10 ans : 177 155 € | Intérêts payés : 82 049 € | Capital remboursé : 72 845 €
Exercices — Séance 2

## Rentabilité locative & Cash-flow

7
Analyse complète de rentabilité
Difficulté : avancé
Mme Garnier achète un T2 à Lyon pour 180 000 € (frais de notaire : 14 400 €).
Loyer : 750 €/mois. Charges annuelles : taxe foncière 900 €, copropriété 1 200 €, assurance PNO 180 €, gestion locative 7% des loyers, vacance estimée 1 mois/an.
a) Calculez la rentabilité brute.
b) Calculez la rentabilité nette.
c) Calculez le cash-flow mensuel si elle emprunte avec une mensualité de 820 €.
a) Rentabilité brute :
Rb = (750 × 12) / 180 000 × 100 = 9 000 / 180 000 × 100 = 5,00%
b) Rentabilité nette :
Loyers effectifs :
750 × 11 mois (vacance) = 8 250 €
Charges totales :
Taxe foncière : 900 € + Copropriété : 1 200 € + Assurance PNO : 180 € + Gestion : 8 250 × 7% = 577,50 €
Total charges = 900 + 1 200 + 180 + 577,50 = 2 857,50 €
Prix total : 180 000 + 14 400 = 194 400 €
Rn = (8 250 - 2 857,50) / 194 400 × 100 = 5 392,50 / 194 400 × 100 = 2,77%
c) Cash-flow mensuel :
Revenus nets mensuels :
5 392,50 / 12 = 449,38 €
CF = 449,38 - 820 = -370,63 €/mois
Mme Garnier devra sortir 371 € de sa poche chaque mois en moyenne.
Renta brute : 5,00% | Renta nette : 2,77% | Cash-flow : -371 €/mois (effort d'épargne)
8
Effet de levier du crédit
Difficulté : avancé
M. Bernard investit dans un bien à 200 000 € qui génère 10 000 € de revenus nets par an (rentabilité nette de 5%).
Scénario A : il achète comptant (apport 200 000 €).
Scénario B : il emprunte 160 000 € à 3,5% sur 20 ans (apport 40 000 €).
Calculez le rendement des fonds propres dans chaque scénario.
Scénario A — Achat comptant :
Rendement fonds propres = 10 000 / 200 000 = 5,0%
Scénario B — Avec emprunt :
Mensualité crédit :
M = 160 000 × 0,002917 / [1 - (1,002917)^(-240)] ≈ 928 €
Coût annuel du crédit :
928 × 12 = 11 136 €
Revenus nets après crédit :
10 000 - 11 136 = -1 136 € (effort d'épargne annuel)
Mais il faut raisonner sur le patrimoine constitué. Après 20 ans :
Capital remboursé = 160 000 € (le bien est payé)
Effort total = 1 136 × 20 = 22 720 € sur 20 ans
Fonds propres investis = 40 000 + 22 720 = 62 720 €
Patrimoine acquis = 200 000 € → Rendement = 200 000 / 62 720 = 3,19 × la mise
Avec seulement 62 720 € sortis, il détient un bien de 200 000 €. C'est le levier.
Comptant : rendement 5% (linéaire) | Avec crédit : patrimoine × 3,19 grâce au levier (le locataire rembourse l'essentiel)
Conclusion

## Les formules essentielles à retenir

### Séance 1 — Maths financières

Intérêts simples
V = C × (1 + i × n)
Intérêts composés
V = C × (1 + i)n
Taux équivalent
tm = (1 + ta)1/12 - 1
Actualisation
VA = Cn / (1 + i)n
Épargne programmée
Cn = V × [(1+i)n - 1] / i

### Séance 2 — Emprunts & Rentabilité

Mensualité
M = C × t / [1 - (1+t)-n]
Coût total
Coût = (M × n) - C
Rentabilité brute
Rb = Loyer annuel / Prix × 100
Rentabilité nette
Rn = (Loyer - Charges) / Prix total × 100
Cash-flow
CF = Loyer - Charges - Crédit - Impôts

Prochaine séance : Fiscalité immobilière, TRI & VAN